“두 개의 거울이 만드는 상”에 대한 집단지성 사례발표

– 탄자니아 수업 경험을 중심으로 –

서울 인헌중학교 이선희

2019 대한민국과학교사큰모임 발표자료입니다. 다른 곳에 인용하실 때는 반드시 출처를 밝혀 주시기 바랍니다.

제2회 대한민국-탄자니아 과학수학교사 워크숍(2018. 7.)에서 다뤄진 활동을 소개한다. 탄자니아 활동은 대략 1년의 준비기간을 거쳐 진행한다. 짝수달에는 전체가 모여 일정협의, 탄자니아의 상황 공유, 준비상황 점검 등을 하고 홀수달에는 과목별 분과가 따로 모여 원고검토와 수업시연을 하며 서로의 수업준비를 지원한다. 본 발표는 “빛의 직진과 반사”를 주제로 수업을 준비하고 진행하는 과정에 관한 것이다.

탄자니아활동은 동티모르 10년의 경험을 살려 탄자니아의 TOT와 수업 주제를 선정하고 준비물 현지 구입여부 등을 확인한다. 본 주제는 탄자니아 교사가 두 개의 거울이 만드는 상의 개수를 아는 과정에 대한 질문을 토대로 정하게 되었다. 처음 탄자니아 교사의 질문을 받았을 때, “뭐 이런 단순한 걸 물어보나?”라고 대수롭지 않게 생각했다. \( n=\frac { 360˚ }{ \theta } -1 \) (n은 자연수) 정도로 정리할 수 있겠다. 그런데 그래야만 하는 이유를 설명하기가 쉽지 않았다. 그래서 대학교재도 뒤져보고 인터넷검색도 해보았지만 다루고 있는 것을 찾을 수 없었다. 다들 이것이 빛의 반사법칙을 적용하면 답이 나올 것이라고만 생각하고 공식만 돌아다니고 있었다. 120˚에서 상이 2개, 90˚에서 3개. 이런 식으로 작도가 간단한 경우는 증명이 수월했지만 중간값(120˚~90˚)에서 상이 2개임을 설명하는 것은 어려웠다. 이 글을 읽는 분들도 잠시 책을 덮고 한번 설명해보길 권한다.

이를 광선추적의 방법으로 설명하고 있는 유일한 자료가 김정식선생님의 과학 사랑이었다. 하지만 이것으로는 부족했다. 김정식선생님과도 상의하긴 했지만 함께 탄자니아를 가는 이동준 선생님과도 논의를 했다. 며칠 뒤 이동준 선생님으로부터 자바실험실에 올려 놓았다고 연락이 왔다. 딱 내가 원하는 방식으로 구성되어 있었다. 사이트에는 “시뮬레이션의 아이디어를 제공해 주신 이선희 샘에게 감사의 말씀 드립니다.”라는 말까지 씌여 있었다.

두 개의 거울이 만드는 상의 개수를 다루는 가장 좋은 방법은 광선추적법이다. 답을 찾는 최적화된 방법은 결론을 빠르게 익히는 것이다. 광선추적법은 이와 달리 시간이 걸리는 활동이다. 하지만 원리를 이해하는 방식이고 그래서 공식을 적용하기 어려운 상황에서도 매우 유용하게 답에 도달할 수 있는 방법이다. 따라서 “두 개의 거울이 만드는 상의 개수”를 다루기 위해서는 광선추적법을 다뤄야하고 그래서 제목을 “빛의 직진과 반사”로 정하고 빛의 기본부터 다뤘다.

본 수업을 예시로 과학교사의 협력지점을 논의하고자 한다.

Ⅰ. 서론 및 배경

본 수업은 빛에 대한 학습의 출발로서 광원의 정의, 빛의 직진과 반사를 다룬다. 수업방법은 PI(peer instruction: 동료교수법)를 사용할 것이다. PI수업의 흐름은 기본적으로 미니강의, 개념검사문항 제시, 투표, 동료토론, 재투표, 확인의 순으로 이뤄진다(Mazur, 1997). 개념검사문항을 통해 본인의 이해가 정확한지 확인하는 것인데 동료토론을 거치면 정답률이 눈에 띠게 올라가는 것을 확인할 수 있다.

동료교수법은 두 가지 가정에서 출발한다. 하나는 학생들이 교사보다는 친구들의 언어를 더 쉽게 이해하기 때문에 동료들이 가르치게 하자는 것이다. 또 하나는 틀린 답은 설명하는 과정에서 저절로 오류가 드러나기 때문에 논쟁은 답으로 의견을 수렴한다는 것이다. 동료토론 전 투표에서 정답률이 30~70% 정도 일 때, PI의 효과가 큰 것으로 나타났는데 (70%이상은 토론할 필요 없이 정답을 바로 이해하거나, 30%이하의 경우는 교사의 추가설명이 필요한 것으로 나타났다), 과반이 되지 못하는 30% 정도의 경우에도 토론을 거치면 정답률이 높아지는 것을 확인할 수 있었다. PI 교수법에서 개념검사문항은 매우 중요하다. 효과적인 개념검사문항은 인지갈등을 유발하고, 동료와의 토론을 촉진하며 이렇게 갈등을 해소하는 과정에서 바른 개념을 형성하게 된다.
본 수업에서 미니강의는 빛의 진행과정을 시각적으로 형상화해주는 광선작도방법을 사용할 것이다. 상을 이해하기 위한 구체적인 방법으로 워싱턴 대학의 McDermott 교수가 Tutorial에서 사용한 방법을 적용하였다. 또한 수업의 개념검사문항은 교원대학교 김중복 교수팀이 개발한 문항을 활용할 것이다.

수업의 과정에서 엉킨 실타래를 풀듯 개념이 정리되고 충분한 토론이 이루어지기 바란다.

Ⅱ. 학습 목표

  • 물체를 보는 원리를 설명할 수 있다.
  • 평면거울에 의한 상의 생성 원리를 이해하고 설명할 수 있다.

Ⅲ. 준비물

  • (머리가 큰)못 2개
  • PC미러
  • 빨래집게(거울 세우는 용도)
  • B4종이
  • 테이프(종이고정)
  • 짧은 자

Ⅳ. 위험요소 및 안전

  • PC미러의 모서리에 손이 베이지 않도록 모서리를 갈거나 테이프를 붙인다.
  • 못의 위치를 가리킬 때, 못 끝에 찔리지 않도록 주의한다.

Ⅴ. 수업 개요

순서 활동 주제 소요시간(분)
1 활동 1. 물체를 보는 과정 20
2 활동 2. 시차법: 물체의 위치 찾기 30
3 활동 3. 시차법: 상의 위치 찾기 50
4 활동 4. 광선추적법으로 이해하는 반사의 법칙
5 활동 5. 두 개의 거울이 만드는 상 부록
6 활동 6. 만화경 만들기

Ⅵ. 과정

활동 1. 물체를 보는 과정

– 내가 사과를 보는 과정을 그림으로 표현해 보세요. 빛은 화살표로 나타내어 진행방향이 드러나도록 합니다.

Lesson Tips

  • 학생들은 종종 눈에서 사과 방향으로 화살표를 그리곤 한다. 실제로 내가 물체를 본다고 생각하는 것이다. 그러나 우리는 빛의 도움 없이 물체를 볼 수 없다. 물체에서 나오는 빛이 우리 눈에 들어와서 물체를 인식한다는 것, 그 빛은 광원에서 출발한다는 것을 학습한다.
  • 일일이 설명하기 보다는 친구들의 그림을 함께 보는 것으로 수업을 진행한다. 학생들은 친구의 그림을 보면서 쉽게 정답에 도달한다. 학생들을 가르치기보다 깨닫게 하는 것이 좋은 수업이다.
  • 자신의 생각을 드러내고(예상), 다른 친구들의 생각과 비교하고(관찰), 답을 찾는 과정(설명)에서 개념이 생긴다.
  • 수업 후 다음의 내용을 정리한다.
  1. 빛의 직진
    ⑴ ( 광 원 ) : 빛을 내는 물체  (예: 레이저, 태양, 반딧불이 )
    ⑵ 빛의 ( 직 진 ) : 광원에서 나온 빛이 모든 방향으로 곧게 나아가는 현상
  2. 물체를 보는 과정
    ⑴ 물체를 본다는 것은 ( 빛 ) 이  ( 눈 ) 에 들어왔다는 뜻
    ⑵ 빛은 광원에서, 혹은 광원의 빛이 물체에서 ( 반 사 ) 되어 눈으로 들어온다.

교실 문 앞에서 복도를 보고 있다. 복도 끝에서 레이저포인터를 그림과 같이 비추고 있으면 관찰자는 레이저포인터가 켜져 있는지 꺼져 있는지 알 수 있는가?

① 알 수 있다. ②알 수 없다. 이유는 _______________________________________

활동 2. 시차법 : 물체의 위치 찾기

준비물

(머리가 큰)못 1개, B4종이, 테이프(종이고정), 짧은 자, 펜

활동 과정

  • A-1) 두 사람이 짝이 되어 실험한다. 우선 한 사람(A)은 눈을 탁자 높이에 두고 한 손으로 한쪽 눈을 가린다. 다른 한 사람(B)은 탁자 위에 못을 세운다.
  • A-2) (A)는 눈을 가리지 않은 나머지 손을 탁자 위로 쭉 뻗어 올려(탁자 위 15cm 이상 되는 높이) 가깝다고 생각하는 못 위에서 손을 멈춘 후 검지를 뻗어 내린다. 못과 손가락이 만나는가? (B)도 시도해보자. (☞못의 위치를 가리킬 때, 못 끝에 찔리지 않도록 주의한다.)
  • A-3) 실험을 토대로 못의 위치를 정확히 찾기 위한 방법을 생각해보자. 짝에게 그 방법을 설명하고 실제로 그 방법을 실험으로 확인해보자.
  • B-1) 탁자 위에 커다란 종이를 놓고 종이의 먼 쪽에 못을 수직으로 세우자.
    눈을 탁자 높이에 두고 종이 끝의 못을 보자. 자를 이용하여 눈에서 못까지의 일직선(시선)을 그리자.
    눈의 위치를 바꿔 두 번 더 못까지의 시선방향의 선을 그리자.(총 3번)
  • B-2) 이제 못을 치우자.
    종이 위의 그림을 보고 못이 어디에 있었는지 말할 수 있을까?
    못의 위치를 결정하기 위해 필요한 시선의 개수는 최소 몇 개일까?

결과 및 정리

※ 보는 위치에 따라 물체를 향한 시선이 달라진다. 이런 차이를 시차라 한다. 시차를 이용하면 물체의 위치를 결정할 수 있다.

지구 공전에 의해 별의 시차가 나타나며, 이것을 이용하여 별의 위치를 결정할 수 있다.

활동 3. 시차법: 상의 위치 찾기

준비물

(머리가 큰)못 2개, PC미러, 빨래집게(거울 세우는 용도), B4종이, 테이프(종이고정), 짧은 자, 펜

활동 과정

  1. 이번에는 종이 가운데에 거울을 세우고, 거울 앞 10cm위치에 못을 세워놓는다.
    종이에 거울과 못의 위치를 표시해 놓는다.

    눈을 탁자 높이에 두고, 거울 속에 보이는 못(이것을 “상”이라고 한다)을 본다.
  2. 시차법을 써서 ‘못의 상’의 위치를 찾고, 그 위치에 두 번째 못을 놓는다.
    시선을 바꿔가며 두 번째 못의 위치가 ‘못의 상’의 위치가 맞는지 확인한다.
    이제 종이에 ‘못의 상’의 위치를 표시한다.
  3. ‘못의 상’은 거울의 앞에 있는가, 뒤에 있는가, 표면에 있는가?
    ‘못의 상’의 위치에 대해 알아낸 것을 설명해보자.
  4. 그림처럼 못을 거울의 오른편으로 옮겨라.
    새로운 상의 위치는 어디인가?

<거울과 못>

문제) 키 180cm의 사람이 자신의 전신을 다 보기 위해 필요한 최소크기의 거울은 몇 cm인가?

활동 4. 광선추적법으로 이해하는 반사의 법칙

물체에서 출발한 빛이 거울을 거쳐 내 눈에 들어오는 과정을 생각해보자.
물체에서 거울로 향하는 빛과 거울에서 내 눈을 향하는 빛. 이 둘은 어떤 관계가 있을까? 빛의 경로를 추적하여 둘의 관계를 알아보자.

  1. 활동 3에서 눈의 위치를 바꿔가며 상의 위치를 알아보았다. 눈의 위치를 세 군데로 정하고, 각 위치에서 거울 속에 보이는 “상”을 향해 선을 긋는다.
  2. 빛은 어떤 경로를 거쳐 우리 눈에 들어 왔는가? 눈, 상, 물체를 연결하는 빛의 경로를 화살표로 표현해보자.
  3. 지금까지 그린 선들을 기초로, 빛이 거울에서 반사될 때, 어떤 원칙을 따르는지 말할 수 있을까?

Lesson Tips

많은 학생들이 “입사각=반사각”을 기계적으로 학습하곤 한다. 이런 학습 방법으로는 사고를 확장하기 어렵다. 광선추적법은 구체적인 과정을 통해 종합적 사고에 도달하는 것으로 빛에 대한 개념을 구체화하는 데에 유용하다.

활동 5. 두 개의 거울이 만드는 상

마주 선 두 개의 거울 사이에 서 있으면 무수히 많은 나를 볼 수 있다. 어떻게 이런 일이 일어나는가? 두 개 거울이 이루는 각도에 따라 상의 개수가 어떻게 달라지는지 알아보자.

  1. 2 장의 평면거울을 거울면이 마주보도록 겹친 후 한쪽을 테이프로 붙여 책과 같이 만든다.
  2. 바닥에 각도기를 놓고 그 위에 거울을 올린다.
  3. 거울 사이에 물체를 놓고 거울의 각도에 따라 거울이 만드는 상의 개수가 어떻게 달라지는지 관찰한다.
    1) 두 장의 거울을 테이프를 붙여 책과 같이 되도록 연결한다. 2) 각도기 위에 이 책거울을 올린다. 3) 거울 사이의 각과 상의 개수를 기록한다.
  4. 거울 속 상의 개수가 달라지는 각도의 범위를 표에 기록한다.
    상의 개수 2개 3개 4개 5개 6개 7개
    각도의 범위
  5. 거울의 각도와 상의 수는 어떤 관계가 있는가?
  6. 거울 사이각을 60°로 한 후 상의 개수를 세어보자. 각각의 상은 어떻게 만들어졌다고 생각하는가?

Lesson Tips

거울이 만드는 것은 허상이다. 실제 하지 않는 허상이 다른 거울에 반사되어 2차의 또 다른 상을 만든다는 것은 쉽게 이해하기 힘들다. 하지만 허상이라는 것이 광선의 역추적에 의한 것라는 점을 생각한다면 2차의 허상 역시 마찬가지이다. 아래 그림은 두 거울이 만드는 상을 기하학적으로 나타낸 것과 광선추적의 방법으로 설명한 것이다. 기하학적 설명은 거울의 각도와 상의 개수를 이해하는 데에 도움을 주지만 왜 그런지의 이유를 설명하는 데에는 한계가 있다. 이 경우 오른쪽의 광선추적법으로 설명할 수 있다. 학생의 단계에 맞게 적절히 설명한다.

http://blog.daum.net/mathjapari/38

활동 6. 만화경 만들기

만화경(萬華鏡, Kaleidoscope)이란 거울로 된 통에 형형색색의 유리구슬, 종이조각 등등을 넣어 아름다운 무늬를 볼 수 있도록 만든 장치이다. 한쪽 끝을 통해 만화경을 들여다보면, 반대쪽에서 들어온 빛이 각종 무늬를 나타낼 조각들을 거치고 거울에 의해 계속 반사되면서 평면상에 아름다운 무늬를 볼 수 있다.(위키백과)
삼각기둥형태의 만화경이 가장 일반적이지만 여러 형태가 가능하다. 플라스틱거울을 활용해서 원하는 형태의 만화경을 만들어 보자.

1) 삼각기둥 형태

직사각형 거울 3장으로 삼각기둥을 만들어 테이프를 붙인다.(반사면은 안쪽을 향한다) 삼각기둥의 거울을 종이로 감아 튼튼하게 한다. 기둥 에 그림을 그려 장식한다. 기둥 한쪽에 유리구슬을 끼우거나 작은 구슬이 들어 있는 판을 부착할 수도 있다.

 

2) 삼각뿔 형태

삼각형 플라스틱 거울 3장으로 삼각뿔을 만든다. 이 때, 끝부분의 거울코팅을 날카로운 것으로 긁어낸 후 유성펜으로 색을 채운다. 삼각뿔 안쪽을 보면 몇 가닥의 선이 수많은 선으로 확장되어 나타나는 것을 볼 수 있다.

<만화경 만들기>

<만화경 완성된 모습>

 

[참고문헌]

  • 이지원, 김중복 (2013b). 빛의 반사 개념 이해를 위한 상호작용적 실험이 포함된 동료교수법 교수․학습 자료의 개발 및 적용. 과학교육연구지, 37(1), 186-202.
  • Mazur, E. (2013). 동료교수법 사용자 매뉴얼[Peer Instruction: A user’s manual] (김중복, 김종원, 김규환, 이정숙, 이지원, 황명수 역). 서울: 홍릉과학출판사. (원저는 1997에 출판)
  • McDermott, L. C. and Shaffer, P. S. (2003). Instructor’s Guide Tutorials in Introductory Physics. Prentice Hall.
  • McDermott, L. C. & Shaffer, P. S. (2008). 물리 튜토리얼[Tutorial in Introductory Physics] (김중복, 홍명수 역) 서울: 지코사이언스. (원저는 2002에 출판)
  • http://javalab.org/multiple_reflections/ 자바실험실 다중 반사 (거울 2면)

[용어정의]

TOT: trainer of trainers 를 칭하는 것으로 선도교사로 말할 수 있겠다. 해외 수업교류의 경우 언어장벽의 문제가 가장 큰 여려움이다. 의사소통이 가능한 선발교사와 수업을 먼저 공유하고 본 워크숍에서 TOT가 수업을 진행하면 언어의 어려움을 해소함은 물론 심도 깊은 논의가 가능해진다.

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